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线性空间和线性映射

线性空间

用F表示实数全体(R)或者复数全体(C)
定义: 设V是非零空集合,F是R或者C的数域,在V和F上定义两种运算:
加法运算:对 V,在V中有唯一的元素与其和对应,我们记此元素为,称为的和;
数乘运算:对于,在V中有唯一的元素与之对应,记这个元素为,称为的积;
如果V满足下述公理,则称V是数域F上的线性空间,V中的元素称为向量:

  1. 对于;(加法交换律)
  2. 对于;(加法结合律)
  3. ,使得;(我们称这样为零向量)
  4. ,使得 ;(这样的称为的负元素
  5. 对于;
  6. ;
  7. ;
  8. ;

线性空间的例子

例1.
例2.
例3.
例4. 的次数或者
例5.
例6.
例7.
对于这个例子,通常情况下,V中的实数相加结果还在V中,但C中的复数和V中的实数相乘就不再V的空间了,所以V不是线性空间.
例8.
通常情况下,这个显然也不是线性空间.但是我们重新定义V的加法和数乘,可使之仍然为线性空间.
定义加法()运算:

定义乘法()运算:

对这个系统我们测试上面的2的定义和8个公理:
显然,V对其定义的加法运算和数乘运输封闭;
再来验证8个公理:
对公理1,2显然成立,
对公理3,
所以这个系统的的零向量(实数1)
对于公理4,需要使得 , 所以 互为倒数即可
对于公理5, 成立
对于公理6,左边 = ,右边 = = 左边 ,成立
对于公理7,左边 = = ,
右边 = 左边 ;
对于公理8,左边 = ,
右边左边;
综上,对V重新定义了加法和数乘运算后,V为线性空间.

线性空间的性质

设 V是数域 F的线性空间,则
性质1. V中零向量()是唯一的.
proof: 不妨设 都V中的不同的零向量
由公理1,3可得:

所以,
性质2. 对的负元素是唯一的,记为()
proof: 设 均是 的负元素
由公理1,2,3,4

所以, 的负元素唯一.
性质3. 加法消去律: 若
proof:

性质4. ,向量方程 有唯一解,.
proof:

性质5. 特别地,
性质6. (实数0) 或者

基、坐标、维数

线性代数中的一些重要结论

结论1
,则线性相关,其可由其余个向量线性表示.

结论2
线性无关, 而线性相关,
可由唯一线性表示.

proof1 :从解线性方程组的角度:
记矩阵,则
则增广矩阵
rank(A)=rank(B)=s,方程有唯一解x.

proof2.从向量空间的角度分析:
向量可生成一个向量空间V
线性无关, 而线性相关
可得,必然也在空间V中,则一定可以由线性表示.
不妨设

其中 不全相同,

则(1)-(2)

线性无关,必然,所以唯一表示.

结论3

可由线性表示,
线性相关.

proof1: 从向量空间的角度分析,反证法证之.

假设线性无关.
因为都可由线性表示,其中
所以都在 ,其中
线性无关
因此
由于
所以,假设不成立.线性相关

推论1

可由线性表示,
线性无关,则

推论2

等价,且均线性无关,则

下面提供两个推论的简单证明
对推论1,我们从矩阵和秩的关系出发证明:
不妨设 矩阵,矩阵,
又因为可由线性表示,
则存在一矩阵,使得B=AX
线性无关

对于推论2的证明,我们利用推论1:

综上: